数据挖掘化功大法（12）——特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量

设A 是一个n 阶方阵，λ是一个数，如果方程

AX=λX (1)

存在非零解向量，则称 λ 为 A 的一个特征值，相应的非零解向量 X 称为属于特征值λ的特征向量.

(1)式也可写成，

(A-λE)X=0(2)

这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

(3)

即

上式是以 λ 为未知数的一元 n 次方程，称为方阵 A 的特征方程. 其左端

是 λ 的 n 次多项式，记作 f(λ) ，称为方阵 A 的特征多项式.

f(λ)=

=

=

显然，A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数(重根按重数计算)，因此，n阶矩阵 A 有 n 个特征值.设 n 阶矩阵

的特征值为

由多项式的根与系数之间的关系，不难证明

(ⅰ)

(ⅱ)

若 λ 为A 的一个特征值，则 λ 一定是方程

的根, 因此又称特征根，若λ为方程

的

重根，则 λ 称为 A 的

重特征根.方程

的每一个非零解向量都是相应于 λ 的特征向量，于是我们可以得到求矩阵 A 的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算 A 的特征多项式

第二步：求出特征方程

的全部根，即为 A的全部特征值;

第三步：对于 A 的每一个特征值 λ，求出齐次线性方程组：

的一个基础解系

，则 A 的属于特征值 λ 的全部特征向量是

(其中

是不全为零的任意实数).

使用matlab求特征值和特征向量

>>clc;clear;close; 
>>A=[3,-1,-2;2,0,-2;2,-1,-1]; 
>>[X,B]=eig(A) %求矩阵A的特征值和特征向量,其中B的对角线元素是特征值, 
%X的列是相应的特征向量 最后的结果是:
X =
    0.7276   -0.5774    0.6230
    0.4851   -0.5774   -0.2417
    0.4851   -0.5774    0.7439
B =
    1.0000         0         0
         0    0.0000         0
         0         0    1.0000

关于特征值和特征向量的定理

定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.

相似矩阵

设 A 、B 都是 n 阶方阵，若存在满秩矩阵 P， 使得

则称 A 与 B 相似，记作 A ~ B，且满秩矩阵 P 称为将 A 变为 B 的相似变换矩阵.

“相似”是矩阵间的一种关系，这种关系具有如下性质：

⑴ 反身性：A~A

⑵ 对称性：若 A~B，则 B~A

⑶ 传递性：若 A~B，B~C，则 A~C

相似矩阵还具有下列性质：

相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值.

对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线形变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。

设一线性变换a，在基 m 下的矩阵为 A，在基 n 下的矩阵为 B，m 到 n 的过渡矩阵为 X，那么可以证明：B=X-1AX

那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵 X，满足 B=X-1AX ，那么说 A 与 B 是相似的(是一种等价关系)。

如果存在可逆矩阵 X 使 A 与一个对角矩阵 B 相似，那么说 A 可对角化。

相应的，如果线性变换 a 在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么令X为过渡矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。