面向程序员的数据挖掘指南2：推荐系统入门？

你喜欢的东西我也喜欢

我们将从推荐系统开始，开启数据挖掘之旅。推荐系统无处不在，如亚马逊网站的“看过这件商品的顾客还购买过”板块：

last.fm上对音乐和演唱会的推荐(相似歌手)：

在亚马逊的例子里，它用了两个元素来进行推荐：一是我浏览了里维斯翻译的《法华经》一书;二是其他浏览过该书的顾客还浏览过的译作。

本章我们讲述的推荐方法称为协同过滤。顾名思义，这个方法是利用他人的喜好来进行推荐，也就是说，是大家一起产生的推荐。他的工作原理是这样的：如果要推荐一本书给你，我会在网站上查找一个和你类似的用户，然后将他喜欢的书籍推荐给你——比如巴奇加卢比的《发条女孩》。

如何找到相似的用户

所以首先要做的工作是找到相似的用户。这里用最简单的二维模型来描述。假设用户会在网站用五颗星来评价一本书——没有星表示书写得很糟，五颗星表示很好。因为我们用的是二维模型，所以仅对两本书进行评价：史蒂芬森的《雪崩》(纵轴)和拉尔森的《龙纹身的女孩》(横轴)。

首先，下表显示有三位用户对这两本书做了评价：

现在我想为神秘的X先生推荐一本书，他给《雪崩》打了四星，《龙纹身的女孩》两星。第一个任务是找出哪个用户和他最为相似。我们用距离来表示。

曼哈顿距离

最简单的距离计算方式是曼哈顿距离。在二维模型中，每个人都可以用(x, y)的点来表示，这里我用下标来表示不同的人，(x1, y1)表示艾米，(x2, y2)表示那位神秘的X先生，那么他们之间的曼哈顿距离就是：

也就是x之差的绝对值加上y之差的绝对值，这样他们的距离就是4。

完整的计算结果如下：

艾米的距离最近，在她的浏览历史中可以看到她曾给巴奇加卢比的《发条女孩》打过五星，于是我们就可以把这本书推荐给X先生。

欧几里得距离

曼哈顿距离的优点之一是计算速度快，对于Facebook这样需要计算百万用户之间的相似度时就非常有利。

勾股定理

也许你还隐约记得勾股定理。另一种计算距离的方式就是看两点之间的直线距离：

利用勾股定理，我们可以如下计算距离：

这条斜线就是欧几里得距离，公式是：

回顾一下，这里的x1表示用户1喜欢《龙纹身》的程度，x2是用户2喜欢这本书的程度;y1则是用户1喜欢《雪崩》的程度，y2是用户2喜欢这本书的程度。

艾米给《龙纹身》和《雪崩》都打了五颗星，神秘的X先生分别打了两星和四星，这样他们之间的欧几里得距离就是：

以下是全部用户的计算结果：

N维模型

刚才我们仅仅对两本书进行评价(二维模型)，下面让我们扩展一下，尝试更复杂的模型。假设我们现在要为一个在线音乐网站的用户推荐乐队。用户可以用1至5星来评价一个乐队，其中包含半星(如2.5星)。下表展示了8位用户对8支乐队的评价：

表中的短横表示这位用户没有给这支乐队打分。我们在计算两个用户的距离时，只采用他们都评价过的乐队，比如要计算Angelica和Bill的距离，我们只会用到5支乐队。这两个用户的曼哈顿距离为：

最后距离即是上方数据的加和：(1.5 + 1.5 + 3 + 2 + 1)。

计算欧几里得距离的方法也是类似的，我们也只取双方都评价过的乐队。

用公式来描述即：

掌握了吗 那就试试计算其他几个用户之间的距离吧。

有个瑕疵

当我们计算Hailey和Veronica的距离时会发现一个问题：他们共同评价的乐队只有两支(Norah Jones和The Strokes)，而Hailey和Jordyn共同评价了五支乐队，这似乎会影响我们的计算结果，因为Hailey和Veronica之间是二维的，而Haily和Veronica之间是五维的。曼哈顿距离和欧几里得距离在数据完整的情况下效果最好。如何处理缺失数据，这在研究领域仍是一个活跃的话题。本书的后续内容会进行一些讨论，这里先不展开。现在，让我们开始构建一个推荐系统吧。

推广：闵可夫斯基距离

我们可以将曼哈顿距离和欧几里得距离归纳成一个公式，这个公式称为闵可夫斯基距离：

其中：

r = 1 该公式即曼哈顿距离

r = 2 该公式即欧几里得距离

r = ∞ 极大距离

当你在书中看到这些数学公式，你可以选择快速略过它，继续读下面的文字，过去我就是这样;你也可以停下来，好好分析一下这些公式，会发现其实它们并不难理解。比如上面的公式，当r = 1时，可以简化成如下形式：

仍用上文的音乐站点为例，x和y分别表示两个用户，d(x, y)表示他们之间的距离，n表示他们共同评价过的乐队数量，我们之前已经做过计算：

其中Difference一栏表示两者评分之差的绝对值，加起来等于9，也就是他们之间的距离。

当r = 2时，我们得到欧几里得距离的计算公式：

提前预告一下：r值越大，单个维度的差值大小会对整体距离有更大的影响。

使用Python代码来表示数据(终于要开始编程了)

在Python中，我们可以用多种方式来描述上表中的数据，这里我选择Python的字典类型(或者称为关联数组、哈希表)。

注：本书的所有代码可以在这里找到。

我们可以用以下方式来获取某个用户的评分：

计算曼哈顿距离

我们可以做一下测试：

下面我们编写一个函数来找出距离最近的用户(其实该函数会返回一个用户列表，按距离排序)：

简单测试一下：

最后，我们结合以上内容来进行推荐。假设我想为Hailey做推荐，这里我找到了离他距离最近的用户Veronica。然后，我会找到出Veronica评价过但Hailey没有评价的乐队，并假设Hailey对这些陌生乐队的评价会和Veronica相近。比如，Hailey没有评价过Phoenix乐队，而Veronica对这个乐队打出了4分，所以我们认为Hailey也会喜欢这支乐队。下面的函数就实现了这一逻辑：

下面我们就可以用它来为Hailey做推荐了：

运行结果和我们的预期相符。我们看可以看到，和Hailey距离最近的用户是Veronica，Veronica对Phoenix乐队打了4分。我们再试试其他人：

我们可以猜想Chan会喜欢The Strokes乐队，而Sam不会太欣赏Deadmau5。

对于Angelica，我们得到了空的返回值，也就是说我们无法对其进行推荐。让我们看看是哪里有问题：

Angelica最相似的用户是Veronica，让我们回头看看数据：

我们可以看到，Veronica评价过的乐队，Angelica也都评价过了，所以我们没有推荐。

之后，我们会讨论如何解决这一问题。

作业：实现一个计算闵可夫斯基距离的函数，并在计算用户距离时使用它。

用户的问题

让我们仔细看看用户对乐队的评分，可以发现每个用户的打分标准非常不同：

1. Bill没有打出极端的分数，都在2至4分之间;
2. Jordyn似乎喜欢所有的乐队，打分都在4至5之间;
3. Hailey是一个有趣的人，他的分数不是1就是4。

那么，如何比较这些用户呢比如Hailey的4分相当于Jordan的4分还是5分呢我觉得更接近5分。这样一来就会影响到推荐系统的准确性了。

左：我非常喜欢Broken Bells乐队，所以我给他们打4分!

右：Broken Bells乐队还可以，我打4分。

皮尔逊相关系数

解决方法之一是使用皮尔逊相关系数。简单起见，我们先看下面的数据(和之前的数据不同)：

这种现象在数据挖掘领域称为“分数膨胀”。Clara最低给了4分——她所有的打分都在4至5分之间。我们将它绘制成图表：

一条直线——完全吻合!!!

直线即表示Clara和Robert的偏好完全一致。他们都认为Phoenix是最好的乐队，然后是Blues Traveler、Norah Jones。如果Clara和Robert的意见不一致，那么落在直线上的点就越少。

意见基本一致的情形

意见不太一致的情形

所以从图表上理解，意见相一致表现为一条直线。皮尔逊相关系数用于衡量两个变量之间的相关性(这里的两个变量指的是Clara和Robert)，它的值在-1至1之间，1表示完全吻合，-1表示完全相悖。从直观上理解，最开始的那条直线皮尔逊相关系数为1，第二张是0.91，第三张是0.81。因此我们利用这一点来找到相似的用户。

皮尔逊相关系数的计算公式是：

这里我说说自己的经历。我大学读的是现代音乐艺术，课程包括芭蕾、现代舞、服装设计等，没有任何数学课程。我高中读的是男子学校，学习了管道工程和汽车维修，只懂得很基础的数学知识。不知是因为我的学科背景，还是习惯于用直觉来思考，当我遇到这样的数学公式时会习惯性地跳过，继续读下面的文字。如果你和我一样，我强烈建议你与这种惰性抗争，试着去理解这些公式。它们虽然看起来很复杂，但还是能够被常人所理解的。

上面的公式除了看起来比较复杂，另一个问题是要获得计算结果必须对数据做多次遍历。好在我们有另外一个公式，能够计算皮尔逊相关系数的近似值：

这个公式虽然看起来更加复杂，而且其计算结果会不太稳定，有一定误差存在，但它最大的优点是，用代码实现的时候可以只遍历一次数据，我们会在下文看到。首先，我们将这个公式做一个分解，计算下面这个表达式的值：

对于Clara和Robert，我们可以得到：

很简单把下面我们计算这个公式：

Clara的总评分是22.5， Robert是15，他们评价了5支乐队，因此：

所以，那个巨型公式的分子就是70 – 67.5 = 2.5。

下面我们来看分母：

首先：

我们已经计算过Clara的总评分是22.5，它的平方是506.25，除以乐队的数量5，得到101.25。综合得到：

对于Robert，我们用同样的方法计算：

最后得到：

因此，1表示Clara和Robert的偏好完全吻合。

先休息一下吧

计算皮尔逊相关系数的代码

测试一下：

最后一个公式：余弦相似度

这里我将奉上最后一个公式：余弦相似度。它在文本挖掘中应用得较多，在协同过滤中也会使用到。为了演示如何使用该公式，我们换一个示例。这里记录了每个用户播放歌曲的次数，我们用这些数据进行推荐：

简单扫一眼上面的数据(或者用之前讲过的距离计算公式)，我们可以发现Ann的偏好和Sally更为相似。

问题在哪儿

我在iTunes上有大约4000首歌曲，下面是我最常听的音乐：

可以看到，Moonlight Sonata这首歌我播放了25次，但很有可能你一次都没有听过。事实上，上面列出的这些歌曲可能你一首都没听过。此外，iTunes上有1500万首音乐，而我只听过4000首。所以说单个用户的数据是 稀疏 的，因为非零值较总体要少得多。当我们用1500万首歌曲来比较两个用户时，很有可能他们之间没有任何交集，这样一来就无从计算他们之间的距离了。

类似的情况是在计算两篇文章的相似度时。比如说我们想找一本和《The Space Pioneers》相类似的书，方法之一是利用单词出现的频率，即统计每个单词在书中出现的次数占全书单词的比例，如“the”出现频率为6.13%，“Tom” 0.89%，“space” 0.25%。我们可以用这些数据来寻找一本相近的书。但是，这里同样有数据的稀疏性问题。《The Space Pioneers》中有6629个不同的单词，但英语语言中有超过100万个单词，这样一来非零值就很稀少了，也就不能计算两本书之间的距离。

余弦相似度的计算中会略过这些非零值。它的计算公式是：

其中，“·”号表示数量积。“||x||”表示向量x的模，计算公式是：

我们用上文中“偏好完全一致”的示例：

所以两个向量为：

它们的模是：

数量积的计算：

因此余弦相似度是：

余弦相似度的范围从1到-1，1表示完全匹配，-1表示完全相悖。所以0.935表示匹配度很高。

作业：尝试计算Angelica和Veronica的余弦相似度

应该使用哪种相似度

我们整本书都会探索这个问题，以下是一些提示：

如果数据存在“分数膨胀”问题，就使用皮尔逊相关系数。

如果数据比较“密集”，变量之间基本都存在公有值，且这些距离数据是非常重要的，那就使用欧几里得或曼哈顿距离。

如果数据是稀疏的，则使用余弦相似度。

所以，如果数据是密集的，曼哈顿距离和欧几里得距离都是适用的。那么稀疏的数据可以使用吗我们来看一个也和音乐有关的示例：假设有三个人，每人都给100首音乐评过分。

Jake(左)：乡村音乐的忠实听众。

Linda和Eric(右)：我们爱六十年代的摇滚乐!

Linda和Eric喜欢相同的音乐，他们的评分列表中有20首相同的的歌曲，且评分均值相差不到0.5!所以他们之间的曼哈顿距离为20 x 0.5 = 10，欧几里得距离则为：

Linda和Jake只共同评分了一首歌曲：Chris Cagle的 What a Beautiful Day 。Linda打了3分，Jake打了5分，所以他们之间的曼哈顿距离为2，欧几里得距离为：

所以不管是曼哈顿距离还是欧几里得距离，Jake都要比Eric离Linda近，这不符合实际情况。

嘿，我想到一个办法。人们给音乐打分是从1到5分，那些没有打分的音乐就统一给0分好了，这样就能解决数据稀疏的问题了!

想法不错，但是这样做也不行。为了解释这一问题，我们再引入两个人到例子里来：Cooper和Kelsey。他们和Jake都有着非常相似的音乐偏好，其中Jake在我们网站上评价了25首歌曲。

Cooper评价了26首歌曲，其中25首和Jake是一样的。他们对每首歌曲的评价差值只有0.25!

Kelsey在我们网站上评价了150首歌曲，其中25首和Jake相同。和Cooper一样，她和Jake之间的评价差值也只有0.25!

所以我们从直觉上看Cooper和Keylsey离Jake的距离应该相似。但是，当我们计算他们之间的曼哈顿距离和欧几里得距离时(代入0值)，会发现Cooper要比Keylsey离Jake近得多。

为什么呢

我们来看下面的数据：

从4、5、6这三首歌来看，两人离Jake的距离是相同的，但计算出的曼哈顿距离却不这么显示：

问题就在于数据中的0值对结果的影响很大，所以用0代替空值的方法并不比原来的方程好。还有一种变通的方式是计算“平均值”——将两人共同评价过的歌曲分数除以歌曲数量。

总之，曼哈顿距离和欧几里得距离在数据完整的情况下会运作得非常好，如果数据比较稀疏，则要考虑使用余弦距离。

古怪的现象

假设我们要为Amy推荐乐队，她喜欢Phoenix、Passion Pit、以及Vampire Weekend。和她最相似的用户是Bob，他也喜欢这三支乐队。他的父亲为Walter Ostanek乐队演奏手风琴，所以受此影响，他给了这支乐队5星评价。按照我们现在的推荐逻辑，我们会将这支乐队推荐给Amy，但有可能她并不喜欢。

或者试想一下，Billy Bob Olivera教授喜欢阅读数据挖掘方面的书籍以及科幻小说，他最邻近的用户是我，因为我也喜欢这两种书。然而，我又是一个贵宾犬的爱好者，所以给《贵宾犬的隐秘生活》这本书打了很高的分。这样一来，现有的推荐方法会将这本书介绍给Olivera教授。

问题就在于我们只依靠最相似的 一个 用户来做推荐，如果这个用户有些特殊的偏好，就会直接反映在推荐内容里。解决方法之一是找寻多个相似的用户，这里就要用到K最邻近算法了。

K最邻近算法

在协同过滤中可以使用K最邻近算法来找出K个最相似的用户，以此作为推荐的基础。不同的应用有不同的K值，需要做一些实验来得出。以下给到读者一个基本的思路。

假设我要为Ann做推荐，并令K=3。使用皮尔逊相关系数得到的结果是：

这三个人都会对推荐结果有所贡献，问题在于我们如何确定他们的比重呢我们直接用相关系数的比重来描述，Sally的比重是0.8/2=40%，Eric是0.7/2=35%，Amanda则是25%：

假设他们三人对Grey Wardens的评分以及加权后的结果如下：

最后计算得到的分数为：

Python推荐模块

我将本章学到的内容都汇集成了一个Python类，虽然代码有些长，我还是贴在了这里：

运行示例

首先构建一个推荐类，然后获取推荐结果：

现在让我们使用一个更为真实的数据集。Cai-Nicolas Zeigler从图书漂流站收集了超过100万条评价数据——278,858位用户为271,379本书打了分。这份数据(匿名)可以从这个地址获得，有SQL和CSV两种格式。由于特殊符号的关系，这些数据无法直接加载到Python里。我做了一些清洗，可以从这里下载。

CSV文件包含了三张表：

• 用户表，包括用户ID、位置、年龄等信息。其中用户的姓名已经隐去;
• 书籍表，包括ISBN号、标题、作者、出版日期、出版社等;
• 评分表，包括用户ID、书籍ISBN号、以及评分(0-10分)。

上文Python代码中的loadBookDB方法可以加载这些数据，用法如下：

注意 由于数据集比较大，大约需要几十秒的时间加载和查询。

项目实践

只有运行调试过书中的代码后才能真正掌握这些方法，以下是一些实践建议：

• 实现一个计算曼哈顿距离和欧几里得距离的方法;
• 本书的网站上有一个包含25部电影评价的数据集，实现一个推荐算法。