标准正态分布函数的快速计算方法

标准正态分布的分布函数 Φ(x)Φ(x) 可以说是统计计算中非常重要的一个函数，基本上有正态分布的地方都或多或少会用上它。在一些特定的问题中，我们需要大量多次地计算这个函数的取值，比如我经常需要算正态分布与另一个随机变量之和的分布，这时候就需要用到数值积分，而被积函数就包含 Φ(x)Φ(x)。如果 ZN(0,1),Xf(x)ZN(0,1),Xf(x)，ff 是 XX 的密度函数，那么 Z+XZ+X 的分布函数就是

P(Z+X≤t)=∫+∞∞Φ(tx)f(x)dxP(Z+X≤t)=∫∞+∞Φ(tx)f(x)dx

我们知道，Φ(x)Φ(x) 没有简单的显式表达式，所以它需要用一定的数值方法进行计算。在大部分的科学计算软件中，计算的精度往往是第一位的，因此其算法一般会比较复杂。当这个函数需要被计算成千上万次的时候，速度可能就成为了一个瓶颈。

当然有问题就会有对策，一种常见的做法是略微放弃一些精度，以换取更简单的计算。在大部分实际应用中，一个合理的误差大小，例如 107107，一般就足够了。在这篇文章中，给大家介绍两种简单的方法，它们都比R中自带的 pnorm() 更快，且误差都控制在 107107 的级别。

第一种办法来自于经典参考书 Abramowitz and Stegun: Handbook of Mathematical Functions
的公式 26.2.17。其基本思想是把 Φ(x)Φ(x) 表达成正态密度函数 (x)(x) 和一个有理函数的乘积。这种办法可以保证误差小于 7.5×1087.5×108，一段C++实现可以在这里找到。（代码中的常数与书中的略有区别，是因为代码是针对误差函数 erf(x)erf(x) 编写的，它与 Φ(x)Φ(x) 相差一些常数）

我们来对比一下这种方法与R中 pnorm() 的速度，并验证其精度。

library(Rcpp)
sourceCpp("test_as26217.cpp")

x = seq(-6, 6, by = 1e-6)
system.time(y <- pnorm(x))
## user  system elapsed
## 1.049   0.000   1.048
system.time(asy <- r_as26217ncdf(x))
## user  system elapsed
## 0.293   0.019   0.311
max(abs(y - asy))
## [1] 6.968772e-08

可以看出，A&S 26.2.17 的速度大约是 pnorm() 的三倍，且误差也在预定的范围里，是对计算效率的一次巨大提升。

那么还有没有可能更快呢？答案是肯定的，而且你其实已经多次使用过这种方法了。怎么，不相信？看看下面这张图，你就明白了。

没错，这种更快的方法其实就是两个字：查表。它的基本想法是，我们预先计算好一系列的函数取值 (xi,Φ(xi))(xi,Φ(xi))，然后当我们需要计算某个点 x0x0 时，就找到离它最近的两个点 xkxk 和 xk+1xk+1，再用线性插值的方法得到 Φ(x0)Φ(x0) 的近似取值：

Φ(x0)≈x0xkxk+1xkΦ(xi+1)+xk+1x0xk+1xkΦ(xi)Φ(x0)≈x0xkxk+1xkΦ(xi+1)+xk+1x0xk+1xkΦ(xi)

什么？觉得这个方法太简单了？先别急，这里面还有不少学问。之前我们说了，我们需要保证这种方法的误差不超过 =107=107，因此就需要合理地选择预先计算的点。由于 Φ(x)=1Φ(x)Φ(x)=1Φ(x)，我们暂且只需要考虑 xx 为正的情况。如果让 xi=ih,i=0,1,…,Nxi=ih,i=0,1,…,N，那么对函数 ff 进行线性插值的误差将不超过（来源）

E(x)≤18∥f′′∥∞h2E(x)≤18∥f″∥∞h2

其中 ∥f′′∥∞∥f″∥∞ 是函数二阶导绝对值的最大值。对于正态分布函数来说，它等于 (1)≈0.242(1)≈0.242。于是令 E(x)=107E(x)=107，我们就可以解出 h≈0.001818h≈0.001818。最后，只要 xN>5.199xN>5.199，即 N≥2860N≥2860 并另所有 x>xNx>xN 的取值等于1，就可以保证整个实数域上 Φ(x)Φ(x) 的近似误差都不超过 107107。

这种简单方法的实现我放在了 Github 上，源程序和测试代码也可以在文章最后找到。下面给出它的表现：

library(Rcpp)
sourceCpp("test_fastncdf.cpp")

x = seq(-6, 6, by = 1e-6)
system.time(fasty <- r_fastncdf(x))
## user  system elapsed
## 0.043   0.024   0.066
max(abs(y - fasty))
## [1] 9.99999e-08

与之前的结果相比，相当于速度是 pnorm() 的15倍！

我们似乎一直以为，在计算机和统计软件普及以后，一些传统的做法就会慢慢被淘汰，例如现在除了考试，或许大部分的时间我们都是在用软件而不是正态概率表。从教学与实际应用的角度来看，这种做法是应该进行推广和普及的，但这也不妨碍我们从一些“旧知识”中汲取营养。关于这种大巧若拙的做法的故事还有很多，比如广为流传的这一则。在计算资源匮乏的年代，科学家们想出了各种巧妙的办法来解决他们遇到的各种问题。现如今计算机的性能已经远不是当年可以媲迹，但前人的很多智慧却依然穿透了时间来为现在的我们提供帮助，不得不说这也是一种缘分吧。