小白学统计（5）——数据离散程度描述

集中趋势指标是数据的一个特征，数据的另一个特征是离散程度指标。在统计分析中，离散程度指标可以说明集中趋势指标的代表性如何，还可在统计推断时用来计算误差的大小。另外，离散程度指标还被用来说明事物在发展变化过程中的均衡性、节奏性和稳定性等问题。例如，有两组数据，第一组是19，20，21，第二组是15，20，25。如果只根据均值（两组的均值都是20）我们将无法区别两组数据有什么不同。但显然两组数据是有区别的。在这种情况下，就需要使用离散程度的指标来描述那一组分散的程度更大一些。

离散程度指标的种类很多，下面介绍的是常用的几种。

全距（Range）又称极差，是指数据中最大值和最小值的差值。如果用R表示全距，用Xmax，Xmin，分别表示数据的最大值、最小值，则全距公式为：R = Xmax- Xmin。例如，前面提到的两组数据中，第一组数据的全距R = 21 – 19 = 2，第二组数据的全距R = 25 – 15 = 10。通过全距的数值我们可以确定第二组数据的离散程度更大。由此，我们可以记住一个一般性结论：离散指标的数据越小，说明数据的变异程度就越小；数值越大，则说明数据的变异程度越大。当然，这个结论只有在同类离散指标相比较时才会有意义。

全距指标的应用问题

全距指标的含义容易理解，计算也很简便。因此，在某些场合具有特殊的用途。例如，要说明一个地区的温度情况，没有比用温差说明更好的指标了。在描述一种股票的波动情况时，最高价和最低价的差是常使用的特征值。另外，在成品质量控制方法中，R控制图也是全距的一种应用。但是，全距在计算上只与两个极端值有关，因此它不能反应其他数据的分散情况，就这一点来说，全距只是一个比较粗糙的测度指标。如果需要全面、精确地说明数据离散程度时，就不宜使用全距。

平均差（Mean Absolute Deviation）就是各项数值与其均值之差绝对值之和的平均数。用MAD表示平均差，其公式为：

所谓离散，是个相对概念，需要用一个标准来衡量。因为均值是最重要也是最常用的指标，所以就成为衡量离散程度的一个常用标准。方法就是用各项数据与与均值相减，通常将这个差值称为离差（Deviation）。离差数值的大小就可以说明数据的偏离程度。但是，可以证明

因为相对于均值的正、负偏差之和是相等的。为了解决离差正、负值抵消的问题，统计学家使用了绝对值的方法，如平均差

，更多使用的是平方的方法，如方差

，然后再用平均的方法，消除掉由于数据项数多少给离差值带来的影响，即

从指标的含义来看，平均差的数值代表了所有数据离均值的平均距离，使用该数据说明数据的离散程度，比较容易理解。

平均差的应用问题

虽然平均差简单易懂，但因为使用了绝对值，不便于进一步计算，所以在实际应用中不如其他离散指标应用那样广泛。但在预测领域，还常常使用该指标用于误差的说明。

方差（Variance）就是全部数据离差平方的平均数。总体方差用表示，计算公式为：

方差克服了平均差绝对值的问题，成为描述离散程度的一个重要指标。但是，在方差数值含义的解释上却遇到困难。因为方差的单位是数据单位的平方，夸大了数据的离散程度，使人不易直观理解数值意义。因此，通常取方差的算数平方根作为描述离散程度的指标，即标准差（StandardDeviation）。总体标准差的公式表示如下：

如果用上面的数据计算，对于这个数据，我们就很容易理解它的含义了。

方差、标准差的应用问题

总体方差用表示，总体标准差用表示，而样本方差用S2表示，样本标准差用S表示，不能混淆。样本方差与标准差的计算公式如下：

可以看到，样本方差及标准差与总体方差和标准差的计算公式略有不同。样本方差和标准差的分母是n-1而不是n。因为样本的方差和标准差在使用中，经常作为总体方差和标准差的估计量，分母除以n-1而不是n，可以得到总体方差和标准差的较好的估计量。

离散系数（Coefficient Of Variation）就是标准差与均值的比值。一般用V表示。总体的离散系数表示：

样本的离散系数表示为：

离散系数的应用问题

离散系数实质上是标准差相对于均值的大小。因此，如果比较均值不相同的两组数据相对离散程度时，使用离散系数，要比使用标准差更准确。例如，假定有甲、乙两个工人，甲平均每小时生产40个零件，标准差是5件。乙平均每小时生产80个零件，标准差为6件。那么那个工人的稳定性比较好呢？根据标准差的定义，标准差越小，离散性就越小，所以甲生产要比乙稳定。但是，我们看到乙的标准差虽然比甲略高，但其生产的能力确实甲的2倍（80/40）。也就是说，6相对于80的变化要小于5相对于40的变化，这个含义就是离散系数。计算过程如下：

由此可见，乙的离散系数小于甲，所以乙的生产要比甲相对稳定。离散系数是个无名数，这是它与其他离散指标的最大区别。全距、平均差还有标准差，它们都是有名数，其单位与原始数据的单位一致。离散系数的这一特点使其不仅可以说明同类事物的相对离散程度，还可以说明不同类事物的相对离散程度。例如，当我们有兴趣比较一群人的身高离散程度大，还是体重离散程度大时，其他离散指标都不能用于比较，因为身高与体重的单位不一致。而离散系数就可以比较，因为它完全消除了单位的影响。