小白学统计（12）——通俗归纳离散型概率分布

基础准备

随机变量回顾请见第8篇《随机变量的种类与描述》

概率回顾请见第5篇《推断理论基础——概率》

两个概念

随机变量分类：离散型随机变量和连续性随机变量。可以用“点”和“线”来类比理解。“点”（离散型）就是随机变量的取值是有限个或可列无限个。“线”（连续型）就是随机变量的取值在某一段区间上可以取无线多个。

概率分布：是指随机变量的取值与其概率所构成的分布。在二维坐标中，通常横轴是随机变量的取值，纵轴是不同取值对应的概率。根据随机变量的分类，概率分布也分为离散型概率分布和连续型概率分布。

主要离散型概率分布

• 二项分布
• 多项分布
• 超几何分布
• 泊松分布

二项分布

在生活中，许多行为（试验）的结果只有两个：“成功”和“失败”。例如：检查产品的质量，其结果只有两个：合格与不合格；如果试验的结果多于两个，但只关心其中一个结果，也可以视为只有两个结果，例如，调查教育程度时，结果有文盲、小学、初中、高中、大学，但我们只对大学感兴趣，则这个试验的结果可以看作两个：大学和不是大学。这些行为（试验）称为伯努利试验；检查n个产品的质量或调查了n个路人的教育程度，称为n重伯努利试验，将“成功”或“失败”的次数看做一个随机变量，其概率分布称为二项分布。总结这些行为（试验），可以归纳出以下性质：

1、一次试验有且仅有两种可能结果：“成功”和“失败”，两个结果是随机决定且互斥的。

2、每次试验中，成功的概率是P，失败的概率是1-P，并且成功和失败的概率是常数或近似于不变。

3、各次试验之间相互独立，每次试验结果不受其它各次试验结果的影响。

多项分布

多项分布是二项分布的推广。二项分布试验的结果只有两个，多项分布的试验结果有多个，例如，调查教育程度时，结果有文盲、小学、初中、高中、大学等5种结果。比照二项分布试验的性质，可以有多项分布试验的性质如下：

1、一次试验有k种可能的结果，k个结果是随机决定且互斥的。

2、在每次试验中，每种结果都有各自发生的概率且概率保持不变，所有概率之和为100%。

3、各次试验之间相互独立，每次试验结果不受其它各次试验结果的影响。

超几何分布

在二项分布试验和多项分布试验中，每次试验结果的发生概率是不变的，而超几何分布试验结果的概率会随着每一次试验发生变化。例如，在抽样试验中，二项分布试验和多项分布试验是有放回抽样（总量不变）或无限总体无放回抽样（总量近似不变，一般抽样比例低于5%）；超几何分布就是有限总体无放回抽样（总量变化）。

泊松分布

泊松概率分布：考虑在连续时间和空间单位上发生的随机事件的概率。通俗解释：基于过去的经验（随机事件在某段时间或某个空间发生的平均数），预测该随机事件在新的同样长的时间或同样大的空间中发生N次的概率。泊松分布经常用于商业中的库存控制。诸如，一家海鲜餐厅过去一个月顾客平均订购7只龙虾，如果该餐厅希望今后能有95%的把握满足顾客需求，需要储存龙虾的数量。