小白学统计（14）离散型随机变量概率分布——泊松分布

上一篇文章中，我们介绍了离散型随机变量的二项分布，为了便于各位统子的知识串联和掌握，下面将介绍由二项分布公式到泊松分布公式的推导过程。

推导过程：

二项分布概率公式：

表示为X～B(n,p)（二项分布概率公式解释及应用实例，请见上一篇）

下面我们做以下假定条件：

1. 一个事件在一段时间或空间内发生的平均次数或数学期望为λ；
2. 我们将这段时间或空间分成n等份，在每一等份的时间或空间内，这个事件发生的概率为λ/n，当n很大时，λ/n很小，即在这段内，要发生两次或者更多次事件是不可能的。因此在这段时间内不发生该事件的概率表示为：1－λ/n；
3. 在n个等份中，每个等份是否发生该事件是独立的；

根据以上假定条件，在这段时间内，该事件发生k次的概率服从二项分布：X～B(n,λ/n)。我们可以得到概率表示如下：

泊松分布的概率图

泊松分布概率累计图

C” />

泊松分布的应用：

从上面的推导过程来看，泊松分布有以下几个应用特点：

• 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。
• 二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。
• 在二项分布中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，只要n≥20，p≤0.05时，就可以用泊松分布代替二项分布。例如，某厂有30台车床，每台车床在一周内发生故障的概率是0.02，计算在一周内恰有两台车床发生故障的概率？用二项分布计算的结果与泊松分布计算的结果几乎没有误差。（可以自己计算，如需要计算过程，可以直接回复索取）

应用实例：

已知某家小杂货店，平均每周售出2个水果罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是多少？

解：假定不存在季节因素，可以近似认为，这个问题满足以下三个条件：

（1）顾客购买水果罐头是小概率事件。

（2）购买水果罐头的顾客是独立的，不会互相影响。

（3）顾客购买水果罐头的概率是稳定的。

各个参数的含义：

• P：每周销售k个罐头的概率；
• X：水果罐头的销售变量；
• k：每周销售罐头数的取值（0，1，2，3…）；
• λ：每周水果罐头的平均销售量（数学期望），是一个常数，本题为2；

根据公式，计算得到每周销售不同数量罐头数的概率及累计概率：

从上表可见，如果存货4个罐头，95%的概率不会缺货（5%＝1/20，即平均19周发生一次）；如果存货5个罐头98%的概率不会缺货（2%＝1/50，即平均49周发生一次）。