在硕博士生的数据挖掘课程中，聚类是难点，一文难尽。此文用宴会上的见闻，用异于传统的方式，从讲课PPT上取些素材(这样比较快)，来说明聚类的一些概念，为下篇做些铺垫，下篇将通过通俗的例子说明一个著名的方法。
团拜会上一道风景线
岁末年初，参加了几个团拜会。朋友们都知道我对酒特过敏，宽容地让我以茶代酒，因而能在酒席上清醒地倾听、观察和记忆，并在这里调侃敬酒的艺术。
社会是由各种纽带联络而成的人的集合，敬酒是众多纽带中的一种。老百姓敬酒传达亲情友情;伟人(如罗斯福、斯大林)的敬酒也是政治;文人敬酒吟诗作赋，企业家敬酒不忘投资。作为数据挖掘阵地上的戒酒一兵，笔者在敬酒中观察到了聚类技术的应用。
敬酒与聚类技术
善敬酒者都是聚类专家，试看下例：
“赵总，你我同学多年， 这一杯酒你要喝了，…
“老张，你我一同扛过枪，这一杯酒你要干了 ,…
“老李，你我 同乡兼同学，感情深，这杯一口闷，……
善劝酒者总是抓住自己与被敬酒者的相同点，说对方和自己聚在同一个“簇” ，令对方推迟不得，用的是对称聚类技术;“簇”–cluster，有时也译为“类”。
当对方非常德高望重，不好意思把对方和自己聚成一簇，敬酒人会找几个同簇人士壮胆，说“我们几位同YYY，一起来敬…”; 有时，还分“簇”发起集团冲锋，让对方喝得尽兴;仔细思量，用的是非对称(或单侧)聚类技术。
常用敬酒词汇与短语还有：同学、同乡、同事、一同下过乡、一起扛过枪,…,等等。如果一时找不到具体的共同点，对炎黄子孙，总可用“同胞”。上述的 “同学”、“同乡”等名词,相当于英文中的 Homo-Something,在数据库技术中称为属性,对应英文单词Attribute，所以，这种敬酒技巧可泛称为同A技巧,
同A技巧的推广
同A技巧还可推广。例如，假如那一天来临，科幻迷有机会到银河系中心开联合星系(联合国的推广)团拜会，来的都是广义人(外星智慧生命)，见“人”都可称 同系 (同一个银河系);如果见到了我们这个太阳系的火星人，那简直是老乡见老乡，两眼泪汪汪(假定火星人也是两只眼睛)，同在他乡为异客：“这一杯一定要干”，不干不解乡愁。
簇内相似度大，簇间相似度小
如果只往大处找共性(如同胞、同星系)，不足为荣，因为概念太大，而无特色。把一个大集合只聚成一类，最蹩脚的聚类家也会。
能干的聚类家于细微处见功夫，要找某些子集的特色，把大集合中的对象凝聚成若干个特色小簇，使得簇内相似度大，簇间相似度小，那才是万紫千红、信息量丰富的春天。
同A聚类 — 投影到属性A上的小小区间
顾名思义，同A即在属性A上的值相同或相近;前者投影到属性A上一个点，是严格的同A聚类，后者投影到不太大的区间 [a-ε, a+ε]，是宽松的同A聚类。
巧得很，中华文明早为聚类作了准备。中文中有很多形如“同某”的词汇，如同学，同乡，同志，同事，同袍，还有数学上的同态，同构，拓扑学中的同坯，等等。
图1中，横轴是籍贯，纵轴是班级。图中的点代表学生。在横轴投影相近的那些点称为同乡，在纵轴上投影相近的那些称为同学，红圈中的点在双轴上投影都较近，所以是“同学+同乡”。多维的情形稍微复杂，但是思路是同样的。
图1 同学与同乡
鸡尾酒会上人以群分
国际学术会议常有鸡尾酒会方式的招待会(reception)，人们端着酒杯，不断流动，笑声中交流学术，干杯时结识朋友。
聚类之主动 vs 分类之被动
鸡尾酒会上，常看到一群学子围住一个学术带头人;也常看到几位研究者坐在角落，一边品酒，一边在草稿上写写画画，讨论问题;偶尔也有不善交际的离群点(outlier),远离人群，在边沿灯下，“独酌无相亲，…对影成三人”。这里，影响聚群的不是万有引力或电磁力，也不是强、弱相互作用，而是学术思想的凝聚力，是人格魅力。
鸡尾酒会上没有人指挥谁谁应该到哪里。所遵循的是“物以类聚，人以群分”，聚类对象是主动的。
而在在分类中，对象是被动的，网络上时髦的“被”句型，是分类技术在社会生活中的体现，如菜园子张青“被”分类到地煞，豹子头林冲“被”分类到天罡。某人“被捐款”， 某人“被集资”，等等。主动与被动之差别，是聚类和分类的最大区别。分类有训练集和测试集，它代表了人们主观意志对分类过程的监督，在机器学习中，分类又称为有监督的机器学习，而聚类称为无监督的学习。
坐标变换与聚类
观察图2，左图是图1内容旋转45o的结果。在XOY坐标系中，不容易简单表达聚类准则。旋转45o后，在新坐标系X’OY’ 中，能直接看出同乡即 同X’， 同学即同Y’。
图2 (1)坐标旋转 (2)极坐标
令θ=-45o， 它顺时针旋转，就转回XOY 平面，中学数学中有坐标变换公式：
- x’=xcos(-45 o)-ysin(-45 o)
- y’=xsin(-45 o)+ycos(-45 o)
下面讲核函数概念还要用到它，现在暂且按下不表。
坐标变换与核函数
聚类可以表现为在簇周围画一条紧边界。考察图2右边的紫色扇面簇，在直角坐标系中的描述稍复杂一些，但在极坐标中却很简单。 坐标变换公式是：
- f(x,y)=r=x2+y2 ，
- g(x, y)=θ=ArcSin(y/(x2+y2)(1/2) )
坐标变换后，扇面变成平面上的矩形，例如，{ { (r, θ)|1≤r≤2 , 45 o ≤θ< 90 o}是一个扇面。在XOY平面，扇面边界是非线性的，在平面上，边界却是直线段!
又例如， { (r, θ)|0≤r≤1 , 0≤θ< 360 o } 描述了图2(2)中的那个白色的园核。
于是，我们有理由称 f(x,y)， g(x, y)为核函数或类核函数 ，可以这样来理解名称中的“核”字 ：
(1)如果把图2右边看成是染色的青核桃， f(x,y) ≤1所描述的正好是中间哪个白色的核。
(2) 图2左边的坐标变换中类核函数是f(x,y)=x’= xcos(-45 o)-ysin(-45 o) , g(x,y)= y’=xsin(-45 o)+ycos(-45 o) 。 设a,b为常数， X’=a, 是一条直线，也是一个同乡簇的中心线; Y’=b, 是一条直线, 是一个同学簇的中心线; 点 (X’, Y’)=(a,b) 是一个点，是同乡兼同学簇 的中心点;中心线与中心点都与“核”概念相关，这也提示了选择和设计核函数的思路，设法引入曲线坐标系，综合考虑坐标曲线簇与对象簇中心线、以及簇的边界的联系，设法联系原点与重要簇的中心，则核函数选择就有线索了。
核函数(Kernal function) 是个较难懂的概念，在分类的支持向量机SVM技术中也要用到。这里斗胆对核函数做了一个直观解释，有点反传统，未提及在对应的高维空间中的线性可分性，仅供辅助理解，科普不能代替严格的数学定义和证明，如有不妥，请专家指正。
多样化的距离,海内存知己，天涯若比邻
设描述人的维度有(x,y,z,t, 籍贯，感情，信仰，…..)。设人与人的距离为d，
- 把d定义为在籍贯维上投影的差别，得到的簇是同乡;
- 把d定义为在信仰维上投影的差别，得到的簇是同志。
- 把d定义为在感情维上投影的差别，得到的簇是朋友。
如果两个人在信仰和感情上的投影一致，哪怕x,y,z,t有巨大的时空差别，也心心相印，这就是“海内存知己，天涯若比邻”的数学描述或解释，天涯和比邻描述的是在不同维度上的距离。
正邪两方都会用科学规律，二战时，德日意三国的欧式空间距离不小，却聚成了一个反人类集团，是在政治和利益两个维度上的投影相近。
Minkovski-距离
p维空间中两点的Minkovski -距离
当q=1，结果为各维度上差别之和 ,又称为曼哈顿距离.说的是，城市曼哈顿以方格子路为特色，(似乎济南老城区经纬路那一块也类似)，从(x1，y1)到 (x2, y2)，有若干条最短路径，虽然转弯的次数不同，但长度都是|x1-x2|+|y1-y2}。
当q=2;是最普通的欧式空间距离。实践中，有时为夸大距离，采用q=3;有时为了缩小差别，可用q=3/2,等等。
但是，一旦人们在聚类之初选择了距离类型，或多或少地加入了主观干预，极大地干预了最后结果，例如，如上面所述，选择不同的距离定义，似乎开始的差别不大，但可导致结果分别是同乡和同志，这两个概念差之千里，同乡不一定是同志，蒋介石的奉化同乡中也有坚定的共产党员。
笔者以为，如果距离的类型也是挖掘出来的，而不是主观指定的，那才真的是“无监督”，或者，从分布熵的角度，避开距离来解决聚类，这方面也许还有许多工作，可供处于选题饥饿的博士生做。
为深入研究的准备的准备的准备
聚类是数据挖掘中难度较大的内容，文献[1]中，用70多页的篇幅，扫描和检阅了相关的成果和方法，也只是一个为深入研究而做的准备;本文只是为哪个准备而做的准备的准备，从远处看看轮廓，讲讲思想, 尝尝味道，有了这些铺垫，下篇将通过通俗的例子说明一个著名的方法。
参考文献
[1] Data Mining: Concepts and Techniques, 2nd ed., Jiawei Han and Micheline Kamber, Morgan Kaufmann, 2006. P P383-464. 有中译本，《数据挖掘，概念和技术》第二版，范明，孟小峰 等译，机械工业出版社出版。
作者：唐常杰，四川大学，计算机学院，教授
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