小白学统计（45）单样本的假设检验

基础准备

假设检验基础概念回顾：

小白学统计（41）假设检验的“前世今生”

单样本假设检验的应用

假设检验需要设立一对统计假设：原假设（零假设）和备择假设（对立假设）。其中原假设一般是一明确的语句：未知的总体参数等于某个特殊的数值，然后对其进行检验。因此，单样本假设检验可用于探测参数的变化，例如：在科学研究中，检验某新型的汽油添加剂是否能增加每升油的行驶公里数？某新型血压药对体温是否有影响？在工业质量控制中，工厂检查其薯片产品是否与列在包装上的脂肪含量一致；检查巧克力的重量是否与包装上重量一致等等。

单样本假设检验步骤

单样本假设检验步骤如下：

(1)选择零假设和对立假设；

(2)选择显著水平α；

(3)决定检验统计量，由此统计量及α来确定检验的决策规则，并用P值或临界值描述；

(4)从总体取一随机样本，并从样本计算检验统计量的值，若可能，计算P值；

(5)由样本结果和决策规则决定是拒绝还是接受原假设（零假设）；

(6)检验的功效。

(1)选择零假设和对立假设

一个零假设和一个对立假设组成一对统计假设（原假设和对立假设的概念描述请回顾：假设检验原理——原假设和备择假设的建立），这样成对的统计假设可以分为两类三种：单侧假设检验和双侧假设检验（两类）；无方向对立假设、左向对立假设和右向对立假设（三种）。那如何选择统计假设呢？

单侧假设检验：只有一个方向上的变化是重要的（某种新型减肥药实际减肥多少）或研究的假设预告了一个具体的变化方向（某种新的治疗肿瘤会减小）时用单侧假设合适。有的需要检验是否变大，有的检验是否变小。

双侧假设检验：对于探索性研究和质量控制，因为任何一个方向的变化都要检查，单检验就不合适了，应该用双侧假设检验，例如控制产品的重量和产品内某种物质的含量。

(2)选择显著水平α

回忆估计理论，总体均值的区间估计概率公式如下：

其中，1-α称为置信度或置信系数，(1-α)100%称为置信水平。以双尾为例，如下图：

在假设检验理论中，α是假设检验的显著水平，这是因为它用以评估样本结果的显著性，如果点估计值与零假设中的假设参数有很大差别，以至于P≤α，则拒绝零假设，该结果称为统计显著；如果P>α，则接受零假设，该结果称为不是统计显著的。如上图所示，临界域即为统计显著域，接受域为非统计显著域。

显著水平α在试验前设定为0.05或0.01。例如当α=0.05时，分析人员会在报告中说明“统计假设检验是在0.05显著水平（或5%显著水平）下进行的”，如果P≤0.05，则拒绝零假设，该结果称为统计显著；如果P>0.05，则接受零假设，该结果称为不是统计显著的。

从上图中可以看出，如果P≤0.05，阴影面积比P≤0.01的大，所以P≤0.05可说成是“显著的结果”，P≤0.01可说成是“高度显著的结果”。P≤0.01比P≤0.05发生第一类错误的概率α小。

(3)决定检验统计量，由此统计量及α来确定检验的决策规则，并用P值或临界值描述；

(4)从总体取一随机样本，并从样本计算检验统计量的值，若可能，计算P值；

根据假设检验的总体参数和已知的信息，选择假设检验的统计量。在上一篇：假设检验的“前世今生”中解释过合适的统计量是假设检验的基础。

对于总体均值的假设检验，可用下表选择：

对于总体方差的假设检验，可以用卡方分布。

下面以Z统计量为例，说明假设检验原理：

如果在(1)中设定的总体均值的统计假设是双侧假设：H0:μ=μ0；H1:μ≠μ0。假定零假设为真，则可知：如果所有容量为n的随机样本来自于无限大的正态总体（已知标准差为σ），且对每一样本计算均值，该情况下均值的抽样分布是正态分布：

因为抽样分布为正态分布，可进行正态变换，将抽样分布统计量变换为Z统计量：

变换后的Z统计量可以用来度量零假设为真的可能性。如果对一个给定样本计算Z统计量的特定值，几座z1，若z1=0，该样本均值一定等于μ0（红框公式），因而H0:μ=μ0很可能为真。然后，当z1是一较大数时，在零的正或负向，即z1=α或z1=-α，则样本均值与μ0有相当距离，因此，H0:μ=μ0不太可能为真。通过计算P值，即可将可能性量化，进而进行统计假设检验决策。如下图所示：

P值得计算：

对于双侧假设检验，P值就是两个阴影部分的面积和（如上图所示）；如果是单侧假设检验，就是左侧面积或者右侧面积。阴影部分面积用标准正态分布表查得。

(5)由样本结果和决策规则决定是拒绝还是接受原假设（零假设）；

将计算得到的P值与显著水平α比较，P≤α，则拒绝零假设，接受对立假设；如果P>α，则接受零假设。

另外也可以通过比较临界z值来决定是拒绝还是接受零假设。因为P值和z值是等价的，例如，如果z1>1.645成立，则P≤0.05成立。

(6)检验的功效

在两类错误介绍中：假设检验——两类错误，可列出下面的表格：

从表格可以知道，第一类错误（零假设为真拒绝）的概率α是检验的显著性水平：若P≤α，则拒绝零假设。然而在任何此种统计决策中，存在第二类错误：就是零假设不真被接受，它的概率是β。α和1-α是已知的，由研究者在检验前设置，但β和1-β的值是不能确定的，因为不知道总体的参数，所以无法证明H0的真与不真。但是α和β的关系是相反的：α越大，β越小，反之亦然。如下图所示：α越大，接受域越小，接受不真的零假设的概率β也越小。