小白学统计（55）追本溯源F分布

基础准备

F检验在两样本估计和假设检验基础和两样本估计和假设检验范例分析有介绍过，这两篇文章介绍了通过两正态总体的样本进行参数估计和假设检验的办法和范例分析。对于两正态总体均值比较的推断，需要用到样本差值和t或z方法估计和检验它们的差值（两个总体均值差的区间估计和两个总体均值差的假设检验）。那用什么样本的统计方法进行两个总体方差比较的推断呢？

比较总体方差不能用方差的差来进行统计推断，而是用方差比，由于样本方差是总体方差的最优估计量，所以两样本的样本方差比是两总体方差比的最优估计量，任意特定的样本方差比是总体方差比的一个点估计值。

对于独立样本，用t方法时（两个总体均值差的区间估计和两个总体均值差的假设检验），对两样本估计和假设检验假定了方差的齐性，如果未知两正态总体方差是否相等，那就需要先用F检验进行两正态总体的方差齐性检验，验证两正态总体方差相等后，再用假设方差相等的t方法。

F统计量

F分布

F分布不仅仅是一个分布，而是一个连续概率分布族，随着自由度的增大，分布曲线越来越对称，如下图所示：

F分布临界值

F分布由卡方分布推导而来，所以同抽样分布：卡方分布临界值规则：

面积与临界值间的关系如图：

范例分析

F分布可用于两正态总体方差比置信区间的计算及假设检验。

区间计算范例：为检测某种激素对失眠的影响，一个医生给两组临睡前的病人服用不同剂量的激素，然后测量他们从服药到入睡的时间，第一组服用的是5mg的剂量，第二组服用的是15mg的剂量，样本是独立的，结果为：第一组，样本容量为10人，均值为14.8min，方差为4.36；第二组，样本容量为12人，均值为10.2min，方差为4.66。假定两种条件下的总体都是正态分布，计算量总体方差比的90%置信区间。

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假设检验范例：为检测某种激素对失眠的影响，一个医生给两组临睡前的病人服用不同剂量的激素，然后测量他们从服药到入睡的时间，第一组服用的是5mg的剂量，第二组服用的是15mg的剂量，样本是独立的，结果为：第一组，样本容量为10人，均值为14.8min，方差为4.36；第二组，样本容量为12人，均值为10.2min，方差为4.66。假定两总体方差齐性，在0.01显著水平下，用临界值决策规则作这个假定的双侧检验。