小白学统计（57）方差分析：单因素方差分析

基础准备

在多样本的参数估计与假设检验基础中以单因素方差分析为例，介绍了方差分析原理和推导过程，本篇从分析步骤角度再次介绍单因素方差分析：

对多个总体均值进行检验，需要用到方差分析方法（ANalysis Of VAriance，简称ANOVA）。例如，某工厂有A、B、C三台轧制板材的设备，如果想知道这三台设备轧制板材的厚度是否一致，就可以转化为检验来自三个总体的均值是否相同的问题。以上面所说轧制板材为例，检验A、B、C三台设备轧制的板材厚度是否一致，可以建立如下假设：

H₀: μ₁=μ₂=…=μ_r；

H₁: μ₁，μ₂，…，μ_r不全相等。

三个总体均值是否相等无从知道，但是可以通过样本均值是否有显著差异来检验总体均值是否相等。因为，如果H0为真时，则可以期望样本均值很接近，如果样本均值很接近，则推断总体均值相等的证据很充分，就可以接受H0。否则，当样本均值相距较远，就认为总体均值相等的证据不充分，从而拒绝H0，接受H1。

样本均值之间距离的所谓远近是相对的，是通过假定的共同方差的两个点估计值比较得出的。第一个点估计是组内方差，用各个样本方差估计得到的，只与每个样本内部的方差有关，反映各个水平内部随机性的变动。第二个点估计值是组间方差，在H0为真的前提下，由均值抽样平均误差计算得到，这样得到的方差包含两部分的变动：一是各个水平内部的随机性变动，二是各个水平之间的变动。将组间方差与组内方差相比，可以得到一个F统计量（F=组间方差/组内方差），可以证明该统计量服从F分布。

由推断可知，如果三台设备轧制板材的厚度均值相差很小，即组间方差中的各个水平之间的变动很小，F比值会接近于1。反之，则F的比值会显著地大于1，根据上面计算得到的F值，在显著性水平α给定的情况下，就可以做出是否接受三台设备轧制板材厚度均值相等的假设。

单因素方差分析步骤

现在假定一个因素B具有c个水平的因变量进行方差分析检验，例如上面提到的工厂轧制设备是因素，分别试验轧制了10块板材是水平。

1、建立假设

H0: μ1=μ2=…=μc；

H1: μ1，μ2，…，μc不全相等。

2、计算样本均值和样本方差

3、计算组间方差

4、组内方差的估计

5、构造F统计量进行检验

F=组间方差/组内方差=MSB/MSE~F(c-1, n_T-1)

如果c个总体均值不相等，则组间方差（MSB）会大于组内方差（MSE）。当F值大到某一临界值时，就可以拒绝H0。临界值的大小由给定的α和自由度决定。所以，当给定显著性水平为α时，F的拒绝域为F>F_α(c-1,n_T-c)。

6、方差分析表

范例分析

例题：有8位食品专家对三种配方的食品随机品尝，然后给食品的口感分别打分（满分10分），如下表。问三种配方的平均分数是否相同？（α=0.05）（假定打分服从标准相等的正态分布）。

解：设μA，μB，μC分别代表配方1、2、3。已知因变量是分数，因素是配方，水平为3，具有相同的样本容量8。根据题意建立假设：

H0: μA=μB=μC；

H1: 总体均值不全相等。

首先，计算样本均值及方差

其次，计算组间方差MSB

第三，计算组内方差MSE

第四，计算F统计量

最后，查表Fα(c-1,nT-c)= F0.05(2,21)=3.47。因为F=1.119<3.47= F0.05(2,21)，落在接受域。所以接受H0，拒绝H1，即三种配方的口感分数没有显著的差异。