小白学统计（28）抽样分布：t分布

定义随机变量

有正态总体（均值为μ），定义随机变量T（见下方公式），它的值为t（变量用大写字母表示，具体的值用小写字母表示）。从该正态总体取容量为n的样本，并计算样本均值和标准差。

t分布

定义：如果容量为n的所有可能样本均来自正态分布总体（均值为μ），并且对每个样本都计算出随机变量T的值t，则t值有一个连续型概率分布（抽样分布），称为t分布，函数如下：

t分布是一个分布族，每个整数自由度对应一个分布，如下图所示；可以看到，每个分布都是钟型且关于均值0对称，并且分布从负无穷到正无穷连续延伸。当自由度无限时，t分布就是标准正态分布。随着自由度越来越小，曲线就越来越平坦，一般认为，自由度小于30时，分布与标准分布相差较大。

自由度

t分布有一个参数叫做自由度，它的值等于样本容量减去1。为什么不等于样本容量呢？可以从自由度的定义来解释。

与一个统计量相联系的自由度个数可以看做是，在计算该统计量时用到的无限制的、自由变换的数值的个数。例如，如果统计量是样本中n个值得和，并且没有任何限制，可以从样本选取任意n个值求和，因此，该统计量的自由度为n。

如果统计量时样本标准差S，在计算中有1个限制：n个值必须有均值，所以先要用这n个值计算出均值，这样就减少了一个自由度，于是样本标准差（方差）的自由度是n-1。计算统计量T的时候，同样要计算样本均值，所以t统计量的自由度也是n-1。