小白学统计（67）非参数方法：秩次检验

基础准备

• 参数方法与非参数方法区别：非参数方法：卡方检验的运用

秩次检验

前一篇介绍了卡方检验的应用（非参数方法：卡方检验的运用），今篇介绍的秩次检验也是非参数方法的一种。秩次检验对总体分布无更多假定，由于没有充分利用样本信息，且功效较低，因而只有当参数方法不适用时才采用秩次检验。

秩次检验，顾名思义就是排序的意思，其原理是基于总体中的所有个体以相等的数量（区域）分布在中位数的两侧。将样本与中位数（已知或假设）之差进行排序，进而得到样本在中位数两侧的数量（区域），根据数量（区域）的多少，即可检验假设的中位数是否正确，也可以验证抽取样本的总体是否等于某种分布。

秩次检验主要有以下几种：

• 单样本检验：总体中位数是否等于某个常数；
• 两样本检验：两总体中位数是否相等；
• 两样本检验：两独立样本是否来自一个总体；
• 多样本检验：k个独立样本是否来自一个总体；
• 成对样本检验：单调相关性检验；

下面以前三种运用来举例说明其运用方法。

单样本检验：总体中位数假设检验

单样本秩次检验是用来确定总体的中位数是否等于某个假设值，又被称为Wilcoxon符号秩检验。这是基于中位数的定义：若总体的中位数等于假定值，则样本中有一半大于该值，而另一半小于该值。检验统计量是建立在差的得分基础之上的，差的得分可通过将每个观测值减去假定的中位数而得。

对于小样本（样本容量小于30），Wilcoxon符号秩检验程序如下：1、随机抽取一个样本，对于每个样本观测值，减去零假设给定的中位数，将这些差的得分取绝对值，然后排序，记录下其所在位置作为其秩（顺序），最小的秩为1，最大的秩为n。若两个差得分相同，则取其所在位置的平均（如，两个差的得分排在第四位，则这两个差的得分的秩均为4.5，即4与5的算术平均）；2、将差的得分的原始符号（+或-）附在其相应秩的前面，正秩的和记为W+，负秩的为记为W-，若零假设为真，则每个秩应等可能的取+或-，从而绝对值的W+和W-应近似相等；3、算出W+和W-的绝对值以后，需要检验统计量：对比W+和W-绝对值中较小值与Wilcoxon临界值表相应临界值（相应显著水平和样本容量条件下），判断是拒绝原假设还是接受原假设。

范例：一位电影评论员按照从1（最差）到10（最好）的标准评价电影。工作20年后，其评分中位数为6.3。他退休后，公司雇佣另一人接替他的工作，工作一个月后，这位新评论员共观看了10部电影，评分是：3.8，5.6，1.8，5.0，2.4，4.2，7.3，8.6，9.1，5.2。公司领导想了解这位新评论员与其前任在评分上是否有所不同，给定显著水平0.05，利用临界值决策规则，对零假设：两位评论员的评分中位数相同，做双侧Wilcoxon检验。

两样本检验：两总体中位数是否相等

该秩次检验又称为相依样本的Wilcoxon符号秩检验，与单样本的Wilcoxon符号秩检验相比，相依样本的Wilcoxon符号秩检验研究观测值成对抽取时，成对样本中位数的差。检验步骤与单样本基本一致。

范例：一位牛奶场主想知道某种激素是否会增加奶牛的产奶量，为此，他随机抽取10头奶牛做观测，对于每头奶牛，记录其产奶量，经这种激素处理一周后，再记录其产奶量，测量结果如下：(30,34);(25,35);(22,27);(25,24);(23,25);(34,26);(33,24);(30,24);(24,27);(32,21)，每对数据的第一个代表用激素前的产奶量，后一个代表用激素处理一周后的产奶量，给定显著水平0.05，利用临界值决策规则，对原假设：激素处理前后奶牛产奶量不变，做单侧Wilcoxon检验。

两样本检验：两独立样本是否来自同一总体

该秩次检验又称为Wilcoxon-Mann-Whitney检验，研究两个独立样本是否来自同一个总体。零假设是两抽样总体的分布相同；备择假设是它们不同或者一个比另一个大（一个总体的个体数量大于另一个总体的个体数量）。

检验步骤：将来自样本1的观测值与来自样本2的观测值合并，然后从小到大排序，记下其所在位置作为秩，若有一些观测值相同，则取算术平均作为秩。如果两个总体的分布相同，这两个样本的秩应该是随机混合的，如果两个总体的分布不同，则一个样本的秩将高于另一个样本的秩。定义样本1所有秩的和为,R1，样本2所有秩的和为R2，有下面检验统计量：

取U1和U2中较小者作为Mann-Whitney检验统计量。

范例：某公司人事经理想知道公司文科毕业生和理科毕业生工作10年后是否有相同薪金。为此，随机选取10位文科毕业生，调查结果如下：35000,30000,45000,42000,50000，52000，25000，38000，40500，41000；又随机选取13位理科毕业生，调查结果如下：35500，40000，48000，53000，58000，57000，54000，49000，49500，51000，51500，57500，52500。给定显著水平0.05，利用临界值决策规则，对零假设：两种薪金的分布相同，做双侧Mann-Whitney检验。