小白学统计（71）回归参数的区间估计

基础准备

• 文章：一元（简单线性）相关分析与回归分析；

介绍线性关系的两个变量，可以通过回归分析（最小二乘法）得到带有回归参数的回归方程，通过回归方程，当已知自变量的值时，预测相应的因变量的值。假设得到的一元（简单线性）回归方程如下：

回归分析结束了吗？其实还没有。因为计算得到的回归系数是根据样本数据计算的点估计值，如果收集的样本数据不同，则求得的回归系数的数值也会不同。因此，如果为避免样本数据产生的误差，可以对它们进行区间估计。（区间估计请回顾：估计理论：详述总体均值的单样本估计原理）

区间估计

总方差值

首先引入一个总方差值，它的计算公式及注释如下：

回归系数的均值与方差

回归系数的方差推导过程略过不表。

回归系数的置信区间

对回归系数进行区间估计，需要知道它们服从什么概率分布。因为假设了所有的变量（X和Y）都服从正态分布，而回归系数与变量Y是线性关系，所以回归系数也服从正态分布。由于总体方差不得而知，此时t分布适用，所以，回归系数的置信区间为：

因变量Y的置信区间

范例分析

某市欲对货运总量与工业总产值的数量关系进行研究，以便通过工业总产值预测货运总量。现将近10年的数据列于下表。请根据数据建立回归方程，计算回归参数95%的置信区间。当工业总产值为500亿元，置信度为0.95时，预测货运总量的双侧置信区间。

解：1、回归分析：应用Excel画出散点图、添加趋势线，并得到回归方程和相关系数，过程略。

2、回归系数置信区间

3、货运总量置信区间

将工业总产值500亿元带入回归方程，得到货运总量为4.3949；利用公式计算货运总量的95%置信区间；

即当工业总产值为500亿元时，预测该市货运总量在3.9801亿吨至4.8057亿吨之间，概率为95%。