基础准备
回归与相关分析的历史文章：
- 相关与回归分析基础；
- 一元（简单线性）相关分析与回归分析；
- 回归参数的区间估计；
上面文章介绍了简单线性相关与回归分析的两个主要模块：回归方程建立及回归参数的区间估计，但是它们都是建立在假定因变量和自变量线性相关的基础上。因此，对相关程度进行检验也是重要的，相关程度的检验方法主要有三种：
- 相关系数的检验
- 回归方程的检验
- 回归系数的检验
相关系数的检验
变差关系
先来一张图：
如上图所示：当给定X0时，Y的实际值与均值的差值就是Y值随X值的全部变化，称之为总变差。在总变差中，一部分变差可以用设定的回归方程解释，称之为回归变差；另一部分变差是回归方程不能解释的，称为剩余变差，它们之间有下面等式：
如果在总变差Y中，回归变差所占的比例越大，则说明Y值随X值的变化越显著，或者说X解释Y的能力越强。反之，回归变差在总变差中所占比例越小，则说明Y值随X值的变化越不显著，或者说X解释Y的能力越差。
对于所有数据点，变差之间的关系可以用离差平方和表示：
它们从左到右分别称为：总离差平方和、剩余平方和和回归平方和。
决定系数与相关系数
回归变差所占的比例越大，则说明Y值随X值的变化越显著。利用回归平方和与总离差平方和的比值来说明X与Y的相关性，称为决定系数，即有：
决定系数的开方被称为相关系数，前面介绍过相关系数r（Excel数据分析工具：协方差与相关系数），计算公式为：
两者的计算结果是完全一致的。
相关系数与决定系数都能表示变量之间的线性相关程度，但是相关系数计算更简便且能表示相关关系的方向。
相关系数的检验
当已求得r值时，这个r值是真正刻画了两个变量之间的线性关系呢，还是仅仅由于样本的偶然相关而引起的？仅凭相关系数的大小，不能直接说明变量之间是否存在线性相关，通过对r的检验，确定样本是否抽自一个总体相关系数为0的总体，可以解答这个问题。可以证明r的t统计量服从自由度为n-2的t分布：
范例分析
某市欲对货运总量与工业总产值的数量关系进行研究，以便通过工业总产值预测货运总量。现将1991-2000年的数据，列入下表中，根据这些数据对回归方程相关系数r在显著水平0.05做双侧检验。
解：运用Excel对数据进行回归分析，得到回归方程和决定系数R平方；
决定系数为0.9149，相关系数r=0.9565；相关系数r的假设检验过程如下：
回归方程的检验
对回归方程进行显著性检验，就是看自变量从总体上是否对因变量有明显的影响。有回归方程y=a+bx，如果b=0，则Y等于一个常数a，X与Y没有任何关系，故方程不存在。如果b不等于0，则Y随着X的变化而变化，说明方程有意义。
为了对b=0进行检验，需要构造一个检验的统计量。可以证明：在一元线性回归中，当b=0时，有以下结论：
范例分析
某市欲对货运总量与工业总产值的数量关系进行研究，以便通过工业总产值预测货运总量。现将1991-2000年的数据，列入下表中，根据这些数据对回归方程在显著水平0.05做单侧检验。
解：运用Excel对数据进行回归分析，得到回归方程和决定系数R平方；
回归系数的检验
上面回归方程的检验是利用b=0时，回归方程的特性建立F统计量，进而进行假设检验。也可以构造另一个统计量t，如下：
利用上述t统计量即可对b进行假设检验。
范例分析
再次使用上面的例题：某市欲对货运总量与工业总产值的数量关系进行研究，以便通过工业总产值预测货运总量。现将1991-2000年的数据，列入表8-1中，根据这些数据对回归系数b在显著水平0.05做双侧检验。
解：运用Excel对数据进行回归分析，得到回归方程和决定系数R平方；
三种检验方法虽然各有侧重，但在一元线性回归方程的检验中，三种检验的作用是相同的，因此对于一元线性回归方程而言，只要选择一种方法进行检验即可。
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