小白学统计（73）范例分析：一元（简单线性）相关与回归分析

基础准备

前面以两变量的简单线性相关与回归分析为例，分篇幅介绍了以下内容：

• 相关与回归分析基础；
• 一元（简单线性）相关分析与回归分析；
• 回归参数的区间估计；
• 一元（简单线性）回归方程的假设检验；

今篇用例题将上面的内容串联起来，讲述简单线性（一元）相关与回归分析的完整过程。

范例分析

某个工厂生产运营多年，生产与销售情况比较稳定。老板想建立产量与单位成本的数量关系模型。现在收集了之前12年的产量与单位成本资料（如下表），根据这些资料说明产量与单位成本的数量关系，并通过产量预测单位成本。

立项分析

工厂运营一项很重要的工作就是成本控制。理论上，产品的产量与单位成本之间有内在联系。按照成本性质，产品成本由固定成本（折旧、人员工资等）和变动成本（包材、原辅料和水电气等）构成，其中的固定成本总额在一定范围内，与产量无关。当产量变动时，单位产品所负担的固定费用也会变化，从而使单位成本发生变动。因此，产量变化与单位成本由相关关系，但还需要通过数据验证。

1、散点图。因为要分析的是产量对单位成本的影响，所以，将产量作为自变量，单位成本作为因变量（回顾：一元（简单线性）相关分析与回归分析）。

从图形上看，产量与单位成本呈负的线性关系，这与实际是相符的。

2、通过相关系数来验证这种关系（回顾：一元（简单线性）回归方程的假设检验）。

相关系数可以通过决定系数计算，也可以通过协方差计算，两者计算结果一致（回顾：一元（简单线性）回归方程的假设检验）：

从相关系数可见产量与单位成本具有负的高度线性关系，可以建立一元线性回归方程。

3、建立一元线性回归方程（回顾：一元（简单线性）相关分析与回归分析）

回归方程表明随着产量的增加单位产品成本降低。产量每增加100件，单位产品成本下降0.2元。当产量为0时，单位成本是16.45元，是固定成本发生的部分。

4、回归方程的检验（一元（简单线性）回归方程的假设检验）

回归方程的检验有三种方法（回顾：一元（简单线性）回归方程的假设检验），这里用回归系数检验方法，给定显著水平0.05，进行检验。

5、区间估计（回顾：回归参数的区间估计）

因为上面计算得到的回归方程是一个点估计，可以在95%的置信水平下，根据样本数据估计总体单位成本下降的置信区间。

b的双侧95%置信区间

数据说明，在95%的置信水平下，产量每增加100件，单位产品成本下降0.139~0.261元之间。

单位成本的预测

假设某年计算生产2800件产品，预测单位成本的95%置信区间。

将X=28代入回归方程，Y=10.85，置信区间为：

计算结果说明，在95%的概率下，当产量为2800件时，产品的单位成本在8.85~12.85元之间。

利用回归方程进行预测，如果X的取值范围在样本范围之内，则预测相对是准确的。如果超出这个范围，预测则要小心，因为在样本数据之外变量所形成的关系可能会发生变化，而不再是线性关系。