小白学统计（77）长期趋势分析

基础准备

• 基础概念回顾：时间数列分析基础；

构成时间数列的因素可以分成四类：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。其中长期趋势是由根本性原因引起的，客观现象在一个相当长的时间内所呈现出来的持续性增加或减少的一种趋向和状态。

研究长期趋势的目的主要是为了认识和掌握现象发展的规律性，为统计预测提供必要条件；同时，也是为了将其从时间数列中剔除，以便分析其它因素对时间数列的影响。

测定长期趋势的方法有很多，下面介绍两种常用的方法：

• 移动平均法；
• 最小二乘法（趋势方程法）；
• 移动平均法

移动平均法的实质是通过对变量值进行平均的方法，对原来的时间数列进行修匀，以消除季节变动、不规则变动等其他因素对数列产生的影响。移动平均法又可以分为简单移动平均、加权移动平均和指数平滑三种形式。

简单移动平均

简单移动平均的基本过程如下：首先，确定移动的项数k，即每次平均时所包含的变量值的个数；其次，从时间数列的第一个变量值开始，每次向后移动一项，分别计算出k各数值的序时平均数；最后，将计算出来的每个移动平均数的数值与它所对应的时间对应排列，编制成一个新的时间数列。

举例说明：某玩具公司近10年的销售数据及其移动平均表格

从上表可以看出，对原时间数列来说，总的趋势是逐年增加，但对于个别年份来说，有下降的情况，这是由于一些不可知的偶然因素影响造成的，为消除这种偶然因素的影响，可以进行移动平均。进行移动平均后得到新的时间数列没有上下起伏波动，可以明显放映销售量变化的总趋势。

应用移动平均法进行趋势分析有几个注意点：

1、应合理选择移动项数。移动项数越多，修匀效果越好，但新时间数列项数越少，不利于进行长期趋势分析；反之，移动项数越少新数列项数多，修匀效果不好。所以应根据所研究对象的具体特点，来确定移动的项数。如果原数列指标数值有周期性变化，应以周期的长度作为移动的项数。例如，季度资料作四项移动平均，月资料作十二项移动平均，这样可以消除周期性的季节影响。

2、利用平均法进行长期趋势分析时要有足够的资料，否则不能如实放映现象固有的变化趋势，这也是进行长期趋势分析的前提条件。

3、移动平均后的数值要与原数列时间对应。如果是奇数项，平均数落在中间项上，例如，进行3项移动平均，移动平均数落在第2项（(k+1)/2）；如果是偶数项，平均数落在两项中间，还应进行项数为2的移动平均，如下表：

4、移动平均法一般只适用于具有直线趋势的时间数列。

加权移动平均法

简单移动平均法每个观测值都用相同的权数，即假定过去各期的资料对预测期的影响程度相同。但在加权移动平均中，每个观测值被赋予相应的权重。例如，在大多数情况下，越近的资料应该有最大的权重，而较远的资料的权重较低。

还是以上面例题作解，采用三项加权移动平均，最近时期观测值的权数为最远时期观测值的3倍，中间时期观测值的权数为最远时期的2倍，结果如下：

以第一项为例说明：1/6*5+2/6*7+3/6*10=8.17。

如果相信较近时期的历史资料比较远的资料对预测未来更合适，则应该给予较近的资料更大的权重。对于波动很大的时间数列，用相等的权重较合适。

指数平滑法

指数平滑法是加权移动平均法的一种特殊情形。只选择一个权数，即最近时期观测值得权数，其它时期数据值的权数可以自动推算出来，观测值离预测时期越远，它的权数就越小。模型如下：

现在根据包含三个时期资料的时间数列Y1，Y2和Y3，来说明任何时期指数平滑法的预测值，同样也是时间数列以前所有时期实际值的一个加权平均数。

可以得到一个结论，即任何预测值都是以前所有时间数列数值的加权平均数。平滑常数α可以选在0到1之间的任何数，但是有些α值会比其他α值能产生更合适的预测。为观察如何得到一个合适的α值，将基本指数平滑模型改写为：

以上面例题讲解：

如果数据波动较大，α值应取大一些，可以增加近期数据对预测结果的影响。如果数据波动平稳，α值应取小一些。理论界一般认为有以下方法可供选择：

经验判断法：

1、当时间序列呈现较稳定的水平趋势时，应选较小的α值，一般可在0.05~0.20之间取值；

2、当时间序列有波动，但长期趋势变化不大时，可选稍大的α值，常在0.1~0.4之间取值；

3、当时间序列波动很大，长期趋势变化幅度较大，呈现明显且迅速的上升或下降趋势时，宜选择较大的α值，如可在0.6~0.8间选值，以使预测模型灵敏度高些，能迅速跟上数据的变化；

4、当是上升（或下降）的发展趋势类型，α应取较大的值，在0.6~1之间。

试算法：

根据具体时间序列情况，参照经验判断法，来大致确定额定的取值范围，然后取几个α值进行试算，比较不同α值下的预测标准误差，选取预测标准误差最小的α。可以将平滑系数为0.3代入上面例题，比较两者的误差。
最小二乘法

最小二乘法就是根据数据点确定出趋势方程，这里又可以分为线性趋势分析和非线性趋势分析。

线性趋势分析

线性趋势分析的内容在前面已经很详细的介绍过，这里不再赘述。

回顾内容请见：

• 相关与回归分析基础；
• 一元（简单线性）相关分析与回归分析；
• 回归参数的区间估计；
• 一元（简单线性）回归方程的假设检验；
• 范例分析：一元（简单线性）相关与回归分析；
• 多元线性回归分析；
• 范例分析：多元线性回归分析；

非线性趋势分析

经济现象的特点不同，发展变化趋势也不同。可能是线性的，也可能是非线性的。在现实生活中，大量经济现象的发展变化趋势曲线形式很多，这里先介绍两种：二次方程曲线和指数曲线。

二次方程曲线

指数曲线

如何选择分析模型

由于数据特点不同，变动趋势也有差异，分析时应区分情况，选择不同的分析模型，才能更好地放映现象的趋势特征。

方法一：通过散点图确定使用哪一种分析模型，这种方法很不精确，有时难以区别趋势类型。

方法二：结合时间数列的特征分析，当所研究现象的一次差（数列逐期增加量或减少量）大致相同，适用直线进行趋势分析；当所研究现象的二次差（一次差基础上再逐期相减）大致相同，使用二次方程曲线进行分析；当所研究对象的环比速度大致相同时，则指数曲线较为合适。