推荐 ：一文带你熟悉贝叶斯统计

本文为你带来贝叶斯统计的基础示例及全面解释。

图：Unsplash，Chris Liverani

贝叶斯统计这个术语最近被广泛使用。它常用于社交场合、游戏和日常生活中，如棒球、扑克、天气预报、总统选举投票等。

在许多科学领域，可以用贝叶斯统计来确定粒子物理和药物有效性实验的结果，它还可用于机器学习和人工智能，以预测你想看什么新闻故事或观看什么Netflix节目。

不管是否对它有充分的理解，贝叶斯统计已融入了我们的日常生活当中，为此，笔者想通过本文对贝叶斯统计做全面的解读，通过一个详尽的例子来展示这个术语的含义。一旦你理解了这个例子，那么便基本上理解了贝叶斯统计。

首先，在读本文之前，假设读者事先对Bayes定理有所熟悉，愿意把公式当成一个黑匣子的读者，也不成问题。如果需要复习一下贝叶斯定理的话，可以到 Medium resources（https://towardsdatascience.com/bayes-theorem-the-holy-grail-of-data-science-55d93315defb）中查找相关资源。

示例和原始观察

这是教科书中经常用到的一个经典例子，我是十多年前在John Kruschke的《DoingBayesian Data Analysis: A Tutorial Introduction with R》中首次了解到它的，现在已经找不到当时的副本拷贝了，所以这里的任何内容重复纯属偶然。

还是从抛硬币实验开始，把一个硬币翻转N次，每次出现正面时记录一个1，每次出现背面时记录一个0，这便构成了一个数据集。利用这个数据集和Bayes定理，我们想弄清楚抛硬币的结果是否有偏差，以及这个实验的置信度。

技术含量的内容来了：首先定义θ是出现正面的偏差——即硬币落地时出现正面的概率。

这意味着，如果θ=0.5，那么没有偏差，正反面出现的概率完全均等。如果θ=1，那么硬币就永远不会出现反面。如果θ=0.75，那么如果翻转硬币的次数足够大的话，将看到大约每4次翻转中有3次出现正面。

为此，定义 y为硬币是否落在正面或背面的特征。这意味着y只能是0（反面)或1(正面），可以用P(y=1|θ)=θ对这些信息进行数学编码。

打开天窗说亮话：如果硬币为正面的概率是θ，那么出现正面的偏差便是θ。

同理: P(y=0|θ)=1 – θ

现在，把多次硬币实验串起来，当抛掷N 次硬币时,出现a 次正面(虽然，重复使用a 不太应该，但这样却使得后续符号标注更为便捷)。

由于硬币翻转相互独立，只需将概率相乘，于是：

为了避免使用总数N和减法 ，通常定义b为出现反面的次数，写成：

让我们举两种特例来做一个快速的合理性检查，以确保上述表达式的正确性。

假设: a,b≥ 1. 则：

• 当偏差趋于零时，概率也趋于零。这是预料中的，因为我们观察到α个正面 (a≥1)，所以完全偏向反面是非常不可能的。
• 同样，当θ接近1时，概率趋近于0，因为观察到至少有一次翻转出现了反面。

如果你已经目瞪口呆了，那么我鼓励你停下来，再真正地思考一下这个问题，从而获得一些关于符号的直觉。它只涉及基础概率和变量的数目。

另一种特殊情况是：当a=0或b=0时。在b=0的情况下，将连续获得a次正面的概率定义为：θα。

接下来，离得出正确的结论还有一定的距离，因为在这个示例中，有一个固定的数据集（正面和反面的集合）需要分析。

因此，从现在开始，应该考虑a和b固定的数据集的情况。

贝叶斯统计

随着θ在[0,1]之间的变化，获得一个分布函数P(a，b|θ)。接下来，要做的是将它乘以一个常数，把它当作是概率分布。

其实，这就称之为beta分布（注意：我在此处省略了它的表达式），只将它记作β(a，b)。

我们乘的数是下面这个式子的倒数 ：

称为（移位）β函数。再说一遍，如果没有理解的话，可以忽略它。它只是将分布转换为概率分布。如果我不提的话会有人打电话给我。

似乎不需要这么复杂地把它看作是Θ的概率分布 ，但这实际上正是我们要求的。来看以下三个例子：

红色的表示，如果观察到2个正面和8个背面，那么硬币偏向背面的概率就更大，均值出现在0.20，由于没有足够的数据，在其他地方出现正面的可能性或许更高，存在真正的偏差。

中间曲线说明：如果观察到5个正面和5个背面，那么最有可能的是偏差是0.5，同样还有很大的误差空间。如果试验次数足够多，获得了更多的数据，猜测则更有信心，这种情况也是我们所期望的：

当观察到50个正面和50个背面时，可以说置信度95%，真实偏差在0.40到0.60之间。

此时，你可能会反驳道：这只是普通的统计，哪里是贝叶斯定理？说得对。因为现在不是在真空中建立统计模型，所以才会有贝叶斯定理，偏差存在先验概率。

先写下该案例中的Bayes定理：想通过观察到的数据求出偏差的概率θ，用到了Bayes定理的连续形式：

我只是想让大家对贝叶斯统计有一个感觉，所以我不会详细地去推导这个简化的式子。只需注意“后验概率”（方程的左边）即：在已知数据后得到的分布，似然度乘以先验概率再除以标准化常量。

现在，如果你的分母是B(a，b)，那么并计算出的结果将会是另一个β分布！如果你们能理解这些定义，那这并不是太难的练习，但如果你相信了这一点，那么你会看出这样做多么美妙 。

如果先验偏差具有分布β(x，y)，数据出现a个正面和b个反面，得到：

P(θ|a,b)=β(a+x, b+y).

根据这个模型中的数据来更新置信度的方式真是无比简单！

现在来检查一下它是否真的有意义 。假设偏差未知，将可以导出先验概率分布β（0，0）是一条平直的线，即所有的偏差都有同样的可能。

来做一个这样的实验，翻转4次硬币，观察到3个正面和1个背面。贝叶斯分析告诉我们，后验概率分布是β (3，1）：

哎呀！不确定性太大了，看起来这种偏差在很大程度上是针对正面的。

危险：这是因为我们使用了一个错误的先验概率。在现实世界中，将偏差0.99与0.45等同起来是不合理的。

来看看，如果使用一个更为温和的先验概率分布β（2，2），此时假设偏差最有可能接近0.5，无论数据说明了什么，它依然是对的。

在这种情况下， 3个正面和1个背面的结果更新为概率分布是β（5，3）：

啊，好多了，可以观察到3次正面和1次背面，不要忽略这些数据，新的概率受到了先验概率的影响。

这就是贝叶斯统计的伟大之处！如果我们有大量的数据，那么即便观察到一些偏离点也无伤大雅。

另一方面，只要数据足够充分，即使我们99%肯定某件事也可以接受。这只是一句口头禅的数学形式化：非凡的主张需要非凡的证据支持。

因为只有大量的数据才能够证明硬币偏差是0.90，所以需要有大量的数据，这也是非贝叶斯分析的部分缺陷。如果我们没有大量的数据，并且偶尔抽到了一些异常值，那么就更容易相信这种偏差了。

现在应该了解贝叶斯统计的工作原理了吧，如果理解了这个示例，那么其余的大部分工作只是添加参数和更新版本，实际上，通过上述内容已经对这个术语的含义有了一个非常到位的了解。

得出结论

接下来，需要解释的主要问题是如何处理数据，在对数据进行分析之后，如何得出结论？

你可能经常听到做统计的人谈论“95%的置信度”。几乎在每一堂统计课程中都会提到置信区间，同样需要找出贝叶斯统计的相应概念。

标准的术语称之为最高密度区间(HDI)：95%的HDI意味着一个区间，其分布下的面积为0.95(即：分布的95%的区间)，该区间中的每个点都比区间以外的任何点具有更高的概率：

虽然看起来不像，但是应该是完全对称的

首先要正确地画出间隔，注意，阴影区域的曲线上的点的概率都高于区域外曲线上的点的概率 (即：可能性更大)。

注：依然有很多置信度为95%的间隔为非HDI。第二幅图便是这样一个例子，即使曲线下的面积是0.95，大紫点也不在区间内，而且高于左边一些包含在该区间内的点。

最后，如果这个值的一些小邻域完全位于95%的HDI内，则称偏差θ₀是可信的，这个小阈值通常称为实际等价区(ROPE)，它是必须设置的一个值。

将其设为0.02，如果从0.48到0.52的整个间隔均在95%的HDI内，那么这是一个可信的假设。

注意，由于函数本身的复杂性，计算beta分布的HDI实际上非常难。没有完美的解决方案，所以通常情况下，可以通过查表来得出计算结果，或者以某种方式取它的近似值。

均值为μ=a/(ab)，标准差为：

确实有对应的表格。

在本文中，我使用“两个标准差”规则来近似，该规则为均值两边的两个标准差的区间内的置信度约为95%。

注意，如果分布曲线比较陡，例如，概率分布为β（3，25），那么这种近似会产生偏差。

回到以上相同例子，添加这一新术语，看看它是如何工作的。假设偏差未知，令先验概率分布β（0，0）为平坦直线。

这表明，所有的偏差都同样有可能发生。现在来做一个实验，观察到3个正面和1个背面。贝叶斯分析告诉我们，新分布是β（3，1）。

此时，置信度95%的HDI约为0.49~0.84。为此，可以肯定地说，真正的偏差发生在这个区间。请注意，猜测硬币正反面是等概率的（偏差为0.5），而不是一个假设，区间[0.48，0.52]不完全在HDI 之内。

这个例子说明了选择不同阈值的重要性，因为如果选择间隔为0.01而不是0.02，那么抛掷硬币是等概率的假设是可信的（因为[0.49，0.51]完全在HDI之内）。

让我们来看一下，如果使用一个稍微合理的先验概率分布β（2，2），假设：抛掷硬币是等概率事件，根据数据得出的结论是显而易见的。

此时， 3个正面和1个背面告诉我们，后验分布函数是β（5，3）。置信区间为 95%的HDI为0.45~0.75。使用相同的数据，得到了更窄的间隔，尤为重要的是，我们对硬币是等概率时间的说法更为信服，所以这是一个可信的假设。

从而可以推导出一种“统计不确定性原则”，如果要获取大的确定性，那么会使间隔变得越来越宽。直观地说，如果给定一个范围， 99.999999%确定的偏差均在这个范围之内，那么几乎给出了所有的可能性。

如果想要找出精确的偏差点，那么必须放弃确定性（除非处于一种极端的情况下，分布是一个非常尖锐的尖峰）。你会得到这样的结果：可以用1%的确定性说，真实偏差在0.59999999到0.60000001之间。

如果已经锁定了一个小范围，则必须放弃确定性。这与海森堡不确定性原理相类似，海森堡不确定性原理表明：越精确地知道一个粒子的动量或位置，就越无法准确地知道另一个粒子的动量或位置。

总结

总结一下，准确地搭建统计模型需要注意的几个要点。对贝叶斯模型持反对意见的人认为，可以通过主观地选择先验概率，从而得出任何你想要的答案。

抽象地说，这种反对意见本质上是正确的，但在现实实践中，可以绕开它。下面对如何进行贝叶斯统计做一下总结。

第一步是写出似然函数P(θ|a，b)，在上述例子中，为β (a，b)，直接从收集的数据中得出，这完全由数据来决定。

第二步是确定先验分布，在这一步可以有所选择，但同时也是一种约束。在现实生活统计中，可能会有很多先验信息，根据这些信息决定如何选择。

回想一下，我们对认为可能是真实的事实进行了先验编码，并定义了它的置信度。假设根据投票数据来预测谁将赢得选举，需要建立了一个模型，给定有前一年的数据，收集的数据经过测试后，便知道它有多准确！

因此，在已有数据基础上计算先验概率，是一个明智的选择，因为在这里只有一种选择，这并不意味着，可以任意选择你想得出的结论。

在此不再赘述了，在上述例子中，如果随机选择一个硬币的先验概率分布β（100，1），并希望它出现偏差，那么有权视模型为无用的。

先验概率必须已知，并且必须是合理的。如无法证明先验概率，那么就不可能得出一个好的模型。先验概率的选择是一个特性，而不是一个bug。如果说贝叶斯模型比所有其他模型都精确得多，那是因为它没有忽略先验知识。

当贝叶斯统计的反对者使用“先验的任意性”作为理由时，它的失效的确令人沮丧。另一方面，学者们应该在的科学论文中对先验概率做更为深入的研究，以避免出现任何不必要的偏差。

第三步是设置一个ROPE，以明确特定的假设是否可信。这只里规定了在置信区间为95%的HDI边缘考虑正确的猜测是否可信。

诚然，这一步确实相当武断，但每个统计模型都存在这个问题，它非贝叶斯统计所独有，在现实生活中也不是一个典型的问题。如果某件事离HDI太近，那么可能需要更多的数据。

如果你是一名科学家，那么就应重新做实验，或者你得承认，这可能会得出另一种结果。

原文标题：

What is Bayesian Statistics?

原文链接：

https://medium.com/cantors-paradise/what-is-bayesian-statistics-3bc39b19c45f

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作者：Matthew Ward翻译：陈之炎 校对：陈丹

译者简介：陈之炎，北京交通大学通信与控制工程专业毕业，获得工学硕士学位，历任长城计算机软件与系统公司工程师，大唐微电子公司工程师，现任北京吾译超群科技有限公司技术支持。